Phân tích nguyên lý Binius STARKs và suy nghĩ về tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều tương đối nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi mở rộng dữ liệu bằng mã Reed-Solomon, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc tự nó rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Như bảng 1 cho thấy, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ nhất là 252bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có bất kỳ không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
Bảng 1: Đường dẫn phát sinh STARKs
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các phát hiện mới trong những năm gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân đã có từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
Mã QR, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI ban đầu và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho việc đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết cây Merkle trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đề xuất một giải pháp sáng tạo, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và đạt được điều này bằng cách biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua các giá trị của nó trên "siêu lập phương" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu lập phương đều bằng 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu lập phương như một hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu suất mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin ( Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP ): PIOP như là cốt lõi của hệ thống chứng minh, biến đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể kiểm tra. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức thông qua sự tương tác với người xác thực, khiến cho người xác thực có thể xác minh xem tính toán có đúng hay không chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá của đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý khác nhau với các biểu thức đa thức, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Kế hoạch cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Kế hoạch cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức được tạo ra từ PIOP có đúng hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác thực kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Một số kế hoạch cam kết đa thức phổ biến có KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và tình huống áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh có các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với sự chú trọng vào khả năng mở rộng, cũng như loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Sử dụng PLONK PIOP kết hợp với FRI PCS và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của các kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu quả xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, cũng như có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ quan trọng để đạt được hiệu suất và an toàn của nó. Đầu tiên, dựa trên miền nhị phân tháp (towers of binary fields), sự toán học đã hình thành nền tảng cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP) của nó, đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán đổi HyperPlonk, đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán đổi của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu suất xác minh các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng chứng minh tìm kiếm Lasso cải tiến, cung cấp sự linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Tập hợp hữu hạn: Toán tử hóa dựa trên tháp của các trường nhị phân
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu nhờ vào hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và toán học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán toán học hiệu quả cao, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình toán học đơn giản hóa, tức là các phép toán được thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số ngắn gọn và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cộng với khả năng tận dụng đầy đủ đặc điểm phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, vì miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể được chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân thì có lợi thế về khả năng ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường sử dụng bao gồm giảm đặc biệt ( như sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào carry trong các phép toán cộng và nhân, và phép nhân bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc rút gọn (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một yếu tố độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai yếu tố miền tháp 64 bit, bốn yếu tố miền tháp 32 bit, mười sáu yếu tố miền tháp 8 bit, hoặc 128 yếu tố miền F2. Tính linh hoạt của biểu diễn này không cần bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các yếu tố miền nhỏ có thể được đóng gói thành các yếu tố miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu quả tính toán. Hơn nữa, bài báo "Về việc đảo ngược hiệu quả trong các miền tháp có đặc trưng hai" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể phân rã thành miền con m bit ).
Hình 1: Miền nhị phân tháp
2.2 PIOP: Phiên bản sửa đổi của HyperPlonk Product và PermutationCheck------Áp dụng cho trường nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp đa biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng chỉ bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ tính toán của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác thực kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên hypercube Boolean có phải là mối quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem việc đánh giá đa thức có lý trên hypercube Boolean có bằng một giá trị đã tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa thức nhiều biến tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa biến đa thức có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác nhận. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều ví dụ kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của nhiều giá trị đa thức đa biến, nhằm nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 điểm sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U phải khác không tại mọi điểm trên hypercube, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc trưng giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đúng tình huống chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định U không bằng không trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả trong trường hợp mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý các xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk, mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch chuyển đa tuyến mới------áp dụng cho
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
7 thích
Phần thưởng
7
5
Đăng lại
Chia sẻ
Bình luận
0/400
BlockchainBard
· 13giờ trước
STARKs ngày càng tiết kiệm không gian hơn!
Xem bản gốcTrả lời0
StakeHouseDirector
· 13giờ trước
Tối ưu hóa tối ưu hóa, chiếm dụng không gian vẫn còn quá lớn!
Xem bản gốcTrả lời0
MetaverseLandlord
· 13giờ trước
Chỉ biết chất đầy các thông số kỹ thuật, khiến tôi cảm thấy choáng váng.
Xem bản gốcTrả lời0
WhaleWatcher
· 13giờ trước
Hằng ngày kêu gọi nâng cao hiệu suất, vậy mà hiệu suất vẫn chưa được cải thiện?
Xem bản gốcTrả lời0
AirdropBuffet
· 13giờ trước
Anh em, tối ưu hóa mạnh mẽ như vậy, tiếc là vẫn không chạy nhanh bằng.
Phân tích nguyên lý Binius STARKs: Ứng dụng đổi mới và tối ưu hóa hiệu suất trong lĩnh vực nhị phân
Phân tích nguyên lý Binius STARKs và suy nghĩ về tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều tương đối nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi mở rộng dữ liệu bằng mã Reed-Solomon, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc tự nó rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Như bảng 1 cho thấy, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ nhất là 252bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có bất kỳ không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
Bảng 1: Đường dẫn phát sinh STARKs
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các phát hiện mới trong những năm gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân đã có từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
Mã QR, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI ban đầu và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho việc đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết cây Merkle trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đề xuất một giải pháp sáng tạo, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và đạt được điều này bằng cách biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức đa tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua các giá trị của nó trên "siêu lập phương" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu lập phương đều bằng 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu lập phương như một hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu suất mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin ( Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP ): PIOP như là cốt lõi của hệ thống chứng minh, biến đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể kiểm tra. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức thông qua sự tương tác với người xác thực, khiến cho người xác thực có thể xác minh xem tính toán có đúng hay không chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá của đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi cái có cách xử lý khác nhau với các biểu thức đa thức, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Kế hoạch cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Kế hoạch cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức được tạo ra từ PIOP có đúng hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác thực kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Một số kế hoạch cam kết đa thức phổ biến có KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và tình huống áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh có các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với sự chú trọng vào khả năng mở rộng, cũng như loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Sử dụng PLONK PIOP kết hợp với FRI PCS và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của các kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu quả xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, cũng như có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ quan trọng để đạt được hiệu suất và an toàn của nó. Đầu tiên, dựa trên miền nhị phân tháp (towers of binary fields), sự toán học đã hình thành nền tảng cho tính toán của nó, có khả năng thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP) của nó, đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán đổi HyperPlonk, đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán đổi của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu suất xác minh các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng chứng minh tìm kiếm Lasso cải tiến, cung cấp sự linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Tập hợp hữu hạn: Toán tử hóa dựa trên tháp của các trường nhị phân
Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu nhờ vào hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và toán học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán toán học hiệu quả cao, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình toán học đơn giản hóa, tức là các phép toán được thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số ngắn gọn và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cộng với khả năng tận dụng đầy đủ đặc điểm phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, vì miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể được chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân thì có lợi thế về khả năng ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường sử dụng bao gồm giảm đặc biệt ( như sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào carry trong các phép toán cộng và nhân, và phép nhân bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc rút gọn (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một yếu tố độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai yếu tố miền tháp 64 bit, bốn yếu tố miền tháp 32 bit, mười sáu yếu tố miền tháp 8 bit, hoặc 128 yếu tố miền F2. Tính linh hoạt của biểu diễn này không cần bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các yếu tố miền nhỏ có thể được đóng gói thành các yếu tố miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu quả tính toán. Hơn nữa, bài báo "Về việc đảo ngược hiệu quả trong các miền tháp có đặc trưng hai" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể phân rã thành miền con m bit ).
Hình 1: Miền nhị phân tháp
2.2 PIOP: Phiên bản sửa đổi của HyperPlonk Product và PermutationCheck------Áp dụng cho trường nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp đa biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng chỉ bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ tính toán của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác thực kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên hypercube Boolean có phải là mối quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem việc đánh giá đa thức có lý trên hypercube Boolean có bằng một giá trị đã tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa thức nhiều biến tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa biến đa thức có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác nhận. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều ví dụ kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của nhiều giá trị đa thức đa biến, nhằm nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 điểm sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U phải khác không tại mọi điểm trên hypercube, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc trưng giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đúng tình huống chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định U không bằng không trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả trong trường hợp mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý các xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk, mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch chuyển đa tuyến mới------áp dụng cho